Теория вероятности в обычной жизни: можно ли применить ее без погрешностей?
Теория вероятностей (тервер) – раздел математики, который изучает случайные события и их свойства. Ознакомиться с ней нужно, чтобы понимать, как принимать взвешенные решения. Ведь зная статистические данные и анализируя закономерности, можно «предсказать» исход события.
Я не станут грузить вас сложными формулами – желающие углубленно заняться тервером могут сделать это по книге В. Е. Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика». В статье покажу простые примеры для понимания зависимых и независимых событий, расскажу о состоянии неопределенности и интуитивном знании.
Материал полезен широкому кругу читателей.
Коротко о теории вероятностей
Вероятность в зависимых событиях
Вы решаете отправить в подарок другу балык. Знаете номер дома, подъезд, этаж. Курьер просит называть номер квартиры. С мучительными усилиями вспоминаете, что в доме по три двери на площадку, но дальше – туман. Давайте рассчитаем, сможет ли курьер попасть в нужную квартиру с первого раза.
Имеем три варианта развития событий:
Но в истории участвует еще один человек: ваш друг. И событийность в его случае выглядит так:
Прежде чем пойти дальше, введем определение вероятности – количество благоприятных исходов к вероятному числу событий.
Таблица 1 – Девять исходов, три благоприятных
Представим, что курьер ошибся, и за дверью оказалась сногсшибательная блондинка в коротком халате. Для курьера исход положительный, для вас – нет. Поэтому считаем новую вероятность:
То же самое с другом:
Теперь у нас 4 варианта и 2 – выигрышные (таблица 2). Вероятность со второго раза попасть в квартиру друга – 1/2. Она уменьшилась из-за зависимости событий: мы уже исключили неблагоприятный исход и расчёт нужно производить заново. Если курьер настолько невезуч, что промахнется во второй раз, вероятность попасть по адресу в третий раз – 100%. Опытным путем мы проверили, что за двумя предыдущими дверьми балык никто не ждет.
Таблица 2 Четыре исхода, два благоприятных
Пример с курьером — начальный уровень тервера. Он применим для бытовых нужд: предугадать вероятность побочного эффекта от антибиотиков, выбрать из разнообразия бабушкиных пирожков пирожок с повидлом и др.
На экзамене по теории вероятности советский математик и автор учебника Елена Вентцель спросила:
— Кому все понятно? Поднимите руки.
В аудитории живо взметнулся лес рук.
— Отлично! Остальные свободны, оценка – пять баллов! Поднявшие руки – останьтесь. За годы преподавания я так и не поняла большей части тервера. Рада, что вы мне все сейчас объясните.
Байка с математического факультета
У вас есть свой блог? Зарабатывайте с нами от 10 000 рублей на партнерской программе TeachLine.
Вероятность в независимых событиях
Независимые события не влияют друг на друга: количество благоприятных исходов в каждом новом событии не меняется.
Регина Тодоренко и Леся Никитюк в рамках программы «Орел и Решка» приехали в США. Обе хотят провести уик-энд «по богатому» и кидают монетку. Леся поставила на орла, Регина – на решку. Вероятность уехать на собственном авто у девушек одинакова: 1/2. На это раз повезло Лесе. Впрочем, как в следующей поездке тоже.
Регина негодует, почему тервер работает не в ее сторону
Теперь определим, могут ли независимые события происходить подряд с одним и тем же исходом. Лесе везло уже два раза и выпадал «орел». Повезет ли в третий раз? Составим список возможных исходов:
По результату видно: вероятность определенной последовательности каждый раз меньше на вероятность одного события. То есть вероятность определенной последовательности – произведение вероятностей каждого события. Если в одном событии вероятность 1/2, то в трех: 1/2*1/2*1/2=1/8.
Как человек принимает решения в состоянии неопределённости
Часть мозга, которая ответственна за оценку ситуации связана с медиаторной системой — центром мотивационных и эмоциональных процессов. Логика и эмоции часто конфликтуют между собой, поэтому решение принимается случайным образом.
У моей подруги аллергия на виноград. Но в студенчестве она не могла отказаться от бокала вина на вечеринке. Часто ее дерзость оставалась безнаказанной и организм нормально воспринимал аллерген. Реже протестовал: у подруги появлялись отеки на лице и в горле. В эти моменты ее левое полушарие отчаянно искало закономерность и просчитывало вероятность наступления аллергической реакции, правое же шептало: «Не пей, лицо распухнет!». Она могла вывести количество благоприятных исходов математическим путем и пить вино без опасений, но эмоции оказались сильней. Подруга раз и навсегда отказалась от любых продуктов с виноградом.
Хороший пример принятия решений описан в книге Млодинова «(Не) совершенная случайность». Допустим, вы отправили рассказ в четыре издательства. От каждого получили отказ. На эмоциях вы придете к мысли: рассказ ужасный! Хотя, если изучить биографии популярных писателей, может оказаться, что дело не в вас. Отказы в публикации получали Стивен Кинг, Джоан Роулинг, Виктор Франкл. Такие истории случались вовсе не из-за отсутствия у них дара: просто в одном издательстве редактор не понял тонкую философию автора, в другом – спешил домой и проставил визу не читая.
Почему интуитивное знание всегда противоречит статистике
Моя бабушка считает: в Албании убивают на каждом шагу. Хотя в стране она не была и новостей о не слышала: ей так кажется интуитивно. Наверняка и вы не раз испытывали подобное чувство. Оно называется интуитивное знание – внутреннее убеждение, что собственная оценка более правдива, чем официальные источники и статистика.
Всего 127 убийств на 100 000 человек
Классическое исследование на тему интуитивного знания провели Даниэль Канеман и Амос Тверский. Они дали задание группе студентов: на основании портрета, оценить утверждения с таблицы как более (1 балл) и менее (8 баллов) вероятные (таблица 3).
Таблица 3
По портрету логично предположить, что Линда участвует в феминистском движении. Но студенты принимали решения интуитивно, что привело к ошибке. Вероятность, что Линда работает в банке и принимает участие в феминистском движении больше вероятности работы в банке.
Посмотрите на таблицу: вероятность работы в банке и увлечение феминистским движением – 4,1 балл. Но первое (работа в банке) и второе (феминистское движение) в сумме дают 8,3 балла. Согласно терверу, вероятность, что произойдут оба события не может быть выше, чем вероятность каждого события по отдельности. Главное утверждение (4,1 балла) содержит 2 события и является единым. В интуитивном решения правило тервера нарушено. Это доказывает — наши убеждения часто являются ложными.
В дальнейшем проводились множественные эксперименты, которые подтвердили догадку Канемана.
Вместо заключения
Теория вероятностей почти всегда разбивается о «случай», продиктованный убеждением или эмоцией отдельного человека. Поэтому использование ее в повседневной жизни может не оправдать ожиданий. Но выбирать вам! Хорошего дня!
Теория вероятностей
Теория вероятностей (разг. сокр. “тервер”) — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий. С её помощью можно вычислить вероятность события — оно показывает насколько вероятно, что какое-то событие произойдёт. Это число всегда находится в интервале между 0 и 1, где 0 — означает невозможность, а 1 — оно точно произойдёт (достоверное событие).
Например: в мешке есть 6 шаров: 3 красных, 2 жёлтых и 1 синий. Какова вероятность вытащить красный?
Вероятность считается так: количество красных шаров поделить на общее количество шаров в мешке, т. е. 3/6 = 1/2.
Основные формулы теории вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей
| Применение | Формула |
|---|---|
| Сложение противоположных событий | P(A) + P(A̅) = 1 |
| Сложение несовместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) |
| Сложение совместных событий | P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) |
| Умножение независимых событий | P(AB) = P(A) × P(B) |
Основные формулы вычисления
| Название | Формула | Применение/Пояснение |
|---|---|---|
| Классическое определение вероятности | Где m — количество элементарных событий, благоприятствующих событию А, и n — число всех элементарных событий данного испытания. | |
| Комбинаторика — Размещение | Соединения, в которых каждое содержит m элементов (без повторений между ними), взятых из числа данных n элементов. | |
| Комбинаторика — Размещения с повторениями | Число размещений с повторениями из n элементов по m элементов; соединения могут отличаться только порядком расположения элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов. | |
| Комбинаторика — Сочетания | Соединения, в которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов; применяется когда порядок безразличен. | |
| Перестановки | Соединения содержат все n элементов, отличие лишь в порядке их расположения. |
Виды событий
В теории вероятностей события бывают невозможными, случайными и достоверными.
Невозможное событие
Это то, которое уже известно, что в ходе испытания НЕ произойдёт, т. е. вероятность данного события равна нулю. Например: при бросании одной игральной кости (один раз), какова вероятность того, что выпадет 7 очков?
Случайное событие
Это событие может произойти или нет, обычно оно именно случайное. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что выпадет чётное число очков?
Достоверное событие
Это то, которое в ходе испытания обязательно произойдёт, т. е. вероятность данного события равна 1. Например: при бросании игральной кости, какова вероятность того, что она не останется в воздухе, а упадёт?
Совместные и несовместные события
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого (в одном и том же испытании). Например: при бросании одной игральной кости выпадет одновременно и «2» и «3»?
Совместные события могут произойти одновременно. Например: два спортсмена плывут одновременно, два студента сдают экзамен.
Противоположные события
Это два несовместимых события, которые образуют полную группу событий (третьего не существует). Например:
Алгебра событий
Логическое ИЛИ означает, что нужно произвести операцию сложения (сумма событий). Т. е. считаем возможность или событие А, или событие В, или оба (одновременно).
Логическое И — операция умножения (произведение событий). Т. е. считаем возможность и событие А, и событие В.
Задачи
Пример 1
В классе 27 учеников. Из них:
17 изучали немецкий язык,
Найти вероятность того, что случайно выбранный ученик изучал хотя бы один язык.
Что мы знаем:
Значит вместе это будет:
𝑃(N + A) = 𝑃(N) + 𝑃(A) − 𝑃(N ∙ A) = 17/27 + 6/27 − 2/27 = 21/27 = 7/9.
Пример 2
Лотерейные билеты пронумерованы от 1 до 100. Какова вероятность того, что в выбранном билете будет стоять число больше 40 или чётное число?
Что мы знаем:
P(>40) = 60/100 = 6/10 = 3/5
Логическое ИЛИ означает, что нам нужно произвести операцию сложения (т. е. сумма событий).
Нам понадобится формула сложения совместных событий P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB).
Теперь можем подставить всё в формулу P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB):
P(>40 + Ch) = P(>40) + P(Ch) — P(>40.Ch) = 6/10 + 5/10 — 3/10 = 8/10 = ⅘.
Пример 3
В финале международного турнира по стрельбе из лука участвовали 8 спортсменов: 3 американца, 1 англичанин, 1 немец, 1 француз и 2 русских. Какова вероятность того, что хотя бы один русский попадёт в тройку лучших, учитывая, что все спортсмены имеют равные условия для получения медали (золотой, серебряной и бронзовой).
Что мы знаем:
Когда в вопросе появляется «хотя бы один», можно «пойти от противного» — мы должны найти вероятность того, что этого не произойдёт (на пьедестале русских не будет), а затем вычесть это из 1.
P (никакой русский не выиграет золото) = 6/8 = 3/4
P (никакой русский не выиграет серебро) = 5/7 (убираем золотую медаль)
P (никакой русский не выиграет бронзу) = 4/6 = 2/3 (убираем золотую и серебряную медали)
P (на пьедестале не будет русских) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 30/84 = 5/14
P (хотя бы один русский на пьедестале) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14.
Кто придумал теорию вероятностей
Основателями теории вероятностей являются два французских математика Блез Паскаль и Пьер Ферма. В 1654 г. французский писатель Антуан Гомбо (известный как Шевалье де Мере), интересовавшийся игрой и азартными играми, вызвал заинтересованность Паскаля насчёт популярной в то время игры в кости.
Кости бросались 24 раза, а вопрос стоял в том, стоит ли ставить деньги на выпадение хотя бы одной «двойной шестёрки». В то время считалось, что это было выгодно, но последующие расчёты показали прямо противоположное.
Ликбез про теорию вероятностей
Сложился стереотип, что теория вероятностей – это человеческая наука о случайности. На самом деле это не совсем точно. Это математическая дисциплина, изучающая свойства вероятностных пространств. Что такое вероятностное пространство? Это человеческая математическая модель для случая, когда пока ненаблюдаемое является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые. А что такое случайность? Это когда наше лучшее знание о пока ненаблюдаемом является набором событий с некоторыми шансами их появления, как минимум, два из которых ненулевые. Т. е. теория вероятностей занимается лишь изучением второй части из определения случайности и никак не доказывает и не опровергает гипотезу о нашем лучшем знании о пока ненаблюдаемом. Т. е. в основе теории вероятности лежит гипотеза об объективном существовании случайности.
И как определяется вероятностное пространство? А определяется оно исключительно в виде частного случая теории множеств, лежащей в основе всей современной математики. Откажитесь от теории множеств и вся современная математика рассыпается в прах.
Итак вероятностное пространство – это сигма-алгебра с мерой на нем, называемой вероятностью.
Что такое «сигма-алгебра»? Это множество с обычными операциями на его подмножествах объединение («или») и пересечение («и»), обладающее замкнутостью относительно счетно-аддитивной операции объединения, т. е. любое объединение вида
UМi i=1,2,…, в свою очередь является подмножеством исходного множества.
Сложно и нелогично? Не вижу ничего сложного и нелогичного в условии замкнутости для операций «или» в части описания всего возможного набора будущих событий. Например, что необычного в событии для бросания монетки «выпадет орел или решка». Это не событие? Вполне себе событие, описывающее множество возможных будущих исходов бросаний. Единственная абстрация – это объединение бесконечного числа подмножеств, пронумерованных рядом натуральных чисел. Сложно привести простой и понятный любому человеку пример, что это за «зверь» и зачем он нужен. НО! Весь современный математический анализ (сложение, умножение, интегралы, дифференциалы и прочее основаны на этой самой счетной аддитивности) и потому можно констатировать, что она добавлена в теорию вероятностей с одной математической целью: чтобы можно было пользоваться методами математического анализа при изучении вероятностных пространств. Поэтому критика счетной аддитивности, как непонятной и бессмысленной абстракции, является не отдельной критикой теории вероятностей, а критикой всего современного математического анализа. Считаете математический анализ бесполезной абстракцией? Ну тогда и теорию вероятностей можно рассматривать аналогично.
Второй «стороной» вероятностного пространства является мера на нашем множестве, называемая вероятностью. Что такое просто мера? Это действительнозначная неотрицательная функция f на сигма-алгебре (т. е. множестве замкнутом относительно операции объединения подмножеств), удовлетворяющая нескольким вполне логичным условиям:
Теория вероятностей, формулы и примеры
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!
Основные понятия
Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.
Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.
Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».
Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.
Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.
Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:
Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.
Формулы по теории вероятности
Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.
Случайные события. Основные формулы комбинаторики
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:
P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:
Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?
Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:
Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.
Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).
Геометрическое определение вероятности
Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно
Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.
Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!
Сложение и умножение вероятностей
Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
P(AB) = P(A) * P(B)
Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.
Найдем вероятности того, что формула содержится:
А — формула содержится в первом справочнике;
В — формула содержится во втором справочнике;
С — формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.
Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.
Формула полной вероятности и формула Байеса
 |
По теореме умножения вероятностей:
Аналогично, для остальных гипотез:
Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.
Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.
Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).
Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.
Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ: 
Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂
Наивероятнейшее число успехов
Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:
Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.
Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.
В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
 |
Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.
События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.
Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.
Ответ: ориентировочно 0,18.
Теоремы Муавра-Лапласа
Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.
Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то
Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.