Известно что в некотором городе
Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. На сколько частота рождения девочек в 2010 г. в этом регионе отличалась от вероятности этого события?
Частота рождений девочек в 2010 году была равна 477 : 1000 = 0,477. Вероятность рождения девочки в этом регионе равна 1 − 0,512 = 0,488. Поэтому частота данного события отличалась от его вероятности на 0,488 − 0,477 = 0,011.
Средний рост жителя города, в котором живет Даша, равен 170 см. Рост Даши 173 см. Какое из следующих утверждений верно?
1) Даша — самая высокая девушка в городе.
2) Обязательно найдется девушка ниже 170 см.
3) Обязательно найдется человек ростом менее 171 см.
4) Обязательно найдется человек ростом 167 см.
Первое утверждение неверно: например, в городе могут жить три девушки ростом 162 см, 173 см и и 175 см.
Второе утверждение неверно: в городе может жить только одна девушка — Даша, а все остальные жители города могут являться мужчинами.
Третье утверждение верно: если все жители будут не ниже 171 см, то средний рост будет не меньше 171 см.
Четвёртое утверждение неверно: например, в городе могут жить трое жителей ростом 165 см, 172 см и 173 см.
Заметим, что в ответе надо указать номера только тех утверждений, которые всегда являются верными при заданных условиях. Если можно привести хотя бы одни пример, удовлетворяющий условиям задания, но не удовлетворяющий условиям утверждения, то утверждение не является верным. Такие примеры приведены для утверждений 1, 2 и 4, следовательно, эти утверждения не являются верными.
Наличие примера, при котором утверждение является верным, не доказывает, что это утверждение будет верным всегда, поэтому для того, чтобы убедиться в верности утверждения, необходимы логические рассуждения, как показано в решении для утверждения 3.
n1.doc
Л. И. Ниворожкина, 3. А. Морозова,
П. А. Герасимова., П. В. Житников
ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Руководство для решения задач
и профессионального образования
в качестве учебного пособия
высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим
специальностям и направлениям
Ростов-на-Дону «Феникс» 1999
УДК 311(075.8)
ББК 606я73
Н60
Заслуженный деятель науки РФ, доктор экономических наук, профессор В. С. Князевский
Кафедра высшей математики Московского государственного института стали и сплавов
Учебно-методический совет по специальности «Статистика» УМО при Московском государственном университете экономики, статистики и информатики
Ниворожкина Л. И., Морозова 3. А.,
Герасимова И. А., Житников И. В.
Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. — Ростов н/Д: Феникс, 1999. — 320 с. — (Учебники «Феникса»).
В пособии кратко и просто изложены основные понятия статистики и теории вероятностей, даны методические указания по решению типовых задач. В конце каждой главы приведены 20 вариантов задач, условия которых приближены к практическим ситуациям в области маркетинга, аудита, финансов и др.
Предназначено для студентов и аспирантов экономических вузов, преподавателей колледжей, вузов, а также для практических работников, желающих научиться использовать современные статистические методы и их практические приложения при планировании своей деятельности.
©Ниворожкина Л. И., Морозова 3. А.,
Герасимова И. А., Житников И. В., 1999
©Оформление. Издательство «Феникс», 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
Рыночная экономика существенно повышает требования к качеству подготовки конкурентоспособных выпускников экономических вузов. Для этого необходимо владеть современным инструментарием математико-статистического анализа данных. Предлагаемое учебное пособие знакомит читателя с рядом важнейших разделов статистики и теории вероятностей, формирует основы статистического мышления. В пособии переработан и переосмыслен ряд методических подходов, используемых при чтении курсов по прикладной статистике и элементарной теории вероятностей на экономических факультетах в США и Европе.
В процессе экономического образования математико-статистические дисциплины традиционно считаются наиболее сложными для студентов. Предлагаемое пособие ставит своей целью помочь тем, кто осваивает эти курсы, особенно в системе заочного образования, понять прикладной, практический смысл проблем, решаемых с помощью статистики, а также помочь самостоятельно выполнить домашние задания по представленным темам.
Каждая глава начинается с краткого изложения основных теоретических понятий и формул. Авторы стремились подать этот материал так, чтобы, избегая громоздких математических доказательств, на доступном уровне донести до читателя сложные понятия современной статистики.
Для всех основных типов задач, которые можно решить на базе изложенного теоретического материала, приведены методики их решения, которые не только дают «рецепты» для получения ответов, но, прежде всего, помогают читателю освоить основы статистического вывода при решении различных задач из области практической деятельности. Если читатель поймет, для чего необходимо использовать тот или иной статистический метод, ему легче будет освоить и его формальный вычислительный алгоритм, увидеть, что полученный результат — не просто число, а сконцентрированное выражение того, что исходные данные несут в себе об изучаемом явлении.
Для того чтобы процесс обучения носил активный характер, тексты задач максимально приближены к реальным ситуациям в различных областях экономики, таких, как бухгалтерский учет и аудит, финансы, маркетинг и т. д. Решение их поможет понять универсальность статистического анализа как инструмента решения проблем, связанных с риском и неопределенностью.
В книге приведены основные таблицы математической статистики, необходимые для решения задач (приложения 1-6), а также список рекомендуемой литературы.
1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Этот материал не относится непосредственно к теории вероятностей и математической статистике, однако необходим в дальнейшем при расчетах вероятностей.
Комбинаторика происходит от латинского слова «combinatio» — соединение.
Группы, составленные из каких-либо предметов (безразлично каких, например, букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), называются соединениями (комбинациями).
Предметы, из которых состоят соединения, называются элементами.
Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
1.1. Размещения
Размещениями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит т элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т в каждом обычно обозначается символом Аn m и вычисляется по следующей формуле*:
* Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении — для числа сочетаний, опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.
1.2. Понятие факториала
5!=1·2·3·4·5=120.
Считается, что 0! = 1.
Используя понятие факториала, формулу (1.1) можно представить так:
Пример 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?
Решение. В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как
группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т. е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:
N=А 3 10=10·9·8=720
Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.
1.3. Размещения с повторениями
Размещение с повторениями из n элементов по m(mn) элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из различных элементов, но из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.
Пример 2. Изменим условие примера 1. Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на 3 различные должности. Предположим, что один и тот же отобранный из 10 претендентов кандидат может занять не только одну, но и 2, и даже все 3 различные вакантные должности. Сколько в данном случае возможно комбинаций замещения 3 вакантных должностей?
Решение. Как и в предыдущей задаче, комбинации замещения вакантных должностей могут отличаться и составом претендентов и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком. Следовательно, и в этом случае для ответа на вопрос задачи необходимо рассчитать число размещений. Однако теперь вакантные должности могут замещаться одним и тем же претендентом, а значит, здесь речь идет о расчете числа размещений с повторениями.
По условию задачи п = 10, т = 3. Следовательно, Аn m =10 3 =1000.
Ответ. Можно составить 1000 комбинаций.