Известно что 13a 2b 7a b 2 найдите a b
Найти все значения параметров а и b, при которых среди корней уравнения
есть два различных корня с равными абсолютными величинами.
Пусть у заданного уравнения имеются корни m и −m, причем 
Тогда будем иметь равенства:
Последнее равенство мы вправе переписать так:
Вычитая равенство (***) из равенства (*), получим:
Рассмотрим равенство 
Покажем, что в последнем равенстве 
Действительно, если 
то 
тогда как 
Следовательно, мы вправе разделить обе части равенства 
на 
Получим: 
Это равенство имеет место при 
Рассмотрим левую часть последнего равенства как функцию f(m), правую часть — как функцию g(m).
На 
есть монотонно возрастающая функция, g(m) — монотонно убывающая. Cледовательно, равенство f (m)= 
возможно лишь при единственном значении m, т. е. при Однако такое значение m условию задачи не удовлетворяет. Отсюда вывод: в контексте предложенной задачи 
Но тогда непременно должно выполняться равенство 
Коли это так, то равенство (***) примет вид: 
что возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
Заметим, что среди корней исходного уравнения есть такая пара значений m, например, 
и 
при которых условие 
выполняется как при 
так и при 
Теперь нам осталось найти такие значения параметров a и b, которые удовлетворяют системе уравнений 
то 
(последнее не имеет смысла).
Полученным значениям а будут соответствовать значения 
и 
в соответствии с равенством 
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.
б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?
в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем: 
или 
В первом случае из равенства 
учитывая, что 
и числа 
и 
имеют разную чётность, находим 
чего не может быть.
Во втором случае из неравенства 
учитывая, что 
находим 
откуда получаем: 
б) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем, что 
то есть 
Аналогично, 
последнее равенство выполняется только при и Значит, 
что невозможно.
в) Из равенства 
получаем: 
Значит, 
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку 
получаем: 
Кроме того, 
откуда 
Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.
а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B1, B, C1 составляет третью часть объема призмы.
б) Найдите угол между прямыми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.
а) Пусть 
тогда 
У пирамиды 
основанием служит 
высотой — высота треугольника 
проведенная к стороне 
Пусть 
— основание высоты.
Ясно, что 
т. е. 
что и требовалось доказать.
б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты нужных точек: 
Другое решение пункта а).
так как 
но
Ответ: б) 
а) Известно, что b = 2013 2013 + 2. Будут ли числа b 3 + 2 и b 2 + 2 взаимно простыми?
б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на 131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.
в) Найдите все числа вида 
которые делились бы на 132.
а) Будем пользоваться таким фактом: НОД(a,b)=НОД(a-b,b) для любых различных натуральных а и b. Это ясно, так как с одной стороны число a-b делится на все общие делители чисел а и b, а с другой стороны, если бы числа а-b и b имели бы больший общий делитель, чем НОД(a,b), то и число а имело бы такой же делитель.
Используя вышеупомянутый факт, и заметив, что b нечетно, получаем: 
Последнее равенство верно, так как числа 
и 
при нечетном b взаимно просты. Далее рассмотрим тождество 
Значит, если и 
имеют общий делитель, больший единицы, то это может быть только тройка. Однако, 
делится на 3 (2013 делится на 3), значит, 
не кратно 3. Таким образом, 
в) Заметим, что 
значит, искомое число должно делиться на 3, 4 и 11. Если наше число делится на 4, то z=2 или z=6. Разберем эти случаи.
Здесь годятся только такие варианты: x=3,y=6; x=6,y=9.
Ответ: а) да; б) 1946; в) 3696, 4092, 6996, 7392.
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.
б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?
в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем: или
В первом случае из равенства 
находим 
и 
откуда получаем: 
и 
Второй случай не реализуется, поскольку а 
б) Из условия получаем:
Поскольку получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при и Значит, 
что невозможно.
в) Из равенства получаем: Значит, 
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку получаем: 
Кроме того, откуда 
Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.
Ответ: а) a = 6, b = 5, c = 3, d = 1; б) нет; в) 298.
Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений
Ясно, что при 
система имеет единственное решение
которое выражается через 
и 
однозначно, то есть существует для любых и 
При 
если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим
Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то
Таким образом, исходная система равносильна системе
Первое уравнение полученной системы позволяет получить у по х. Следовательно, система имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения второе уравнение.
Уравнение 
имеет единственное решение при любом 
Если или 
то уравнение принимает вид 
и 
соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При 
они не выполняются ни при каких значениях параметров. При 
рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: 
и 
Решая неравенства, находим 
и 
Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: 
Ответ:
Приведём решение Николая Александрова.
Данную систему уравнений можно рассмотреть как систему двух уравнений прямых 
и 
После преобразований получим: 
и 
Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: 
и 
Находим: 
и 
Из первого уравнения находим 
Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: 
и 
Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий 
и 
получаем 
При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.
Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра с данная система уравнений будет иметь решения для любых значений параметра b? См. задачу 527046.
Здравствуйте, объясните, пожалуйста, в чём разница между условиями заданий 484634 и 527046. Ведь именно правильная интерпретация каждого из них помогает получить предлагаемый сайтом ответ. Заранее спасибо!
В одном случае должно быть такое с — назовем его с0 — что есть решения при любых b. Другими словами, какое бы b не взяли, обязательно найдется решение при с0. А в другом случае для разных b могут быть решения при разных с.
Даны натуральные числа 
и 
такие, что 
Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.
а) Найдите наименьшую сумму 
такую, что она является квадратом натурального числа.
б) Найдите наибольшее число c, если 
а сумма имеет наименьшее значение.
в) Найдите наименьшее число b, если числа c, b и a в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью n.
г) Известно, что числа c, b и a в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью n. Найдите наименьшее n, при котором число c будет наименьшим, и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натуральных чисел.
а) По условию, 
где 
— натуральное число. Значит, 
Таким образом, сумма является точным квадратом и делится на 
Поэтому минимальное возможное значение 
б) Из пункта а) получаем, что 
Если сумма минимальна, то и сумма 
минимальна, значит, 
По условию, поэтому 
Искомое наибольшее значение c = 3.
в) По условию, 
а из того, что 
— арифметическая прогрессия, следует равенство 
Значит, 
Число b должно быть минимально, поэтому 
г) Пусть 
тогда 
Из предыдущего пункта следует, что q кратно 13. Если разность прогрессии n наименьшая и её первый член c при этом минимален, то и второй член прогрессии b минимален. Значит, он равен 169, и тогда 
Подбором получаем, что единственная пара чисел 
такая, что 
и удовлетворяющая последнему равенству, это пара 
Тогда получаем, что 
Ответ: а) 1521; б) 3; в) 13; г) 120.
Задание г) имеет два различных прочтения: найти наименьшее возможное n, при котором будут выполнены остальные требования условия, или найти наименьшее возможное c, при котором будут выполнены остальные требования. Выше приведено решение первой из этих задач: из решения следует, что наименьшее возможное n равно 120, при этом числа, составляющие прогрессию, суть 49, 169 и 289. Решение второй задачи — поиска наименьшего возможного с — очевидным образом сводится к рассмотрению наименьшего натурального числа с = 1 и отысканию для этого с наименьшего значения n, обеспечивающего выполнение оставшихся требований. Иными словами, пусть 
тогда 
и необходимо найти натуральные решения полученного уравнения, зная, что 
делится на 13.
Можно показать (указания о том, как это сделать, приведены в статье В. А. Сендерова и А. В. Спивака «Уравнения Пелля» в журнале «Квант» (№ 3, 2002 год), что все решения уравнения 
даются тривиальным решением 
и рекуррентными формулами 
то есть являются множеством упорядоченных пар
