интеграл по поверхности что это

Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы первого рода.

Пусть $\Sigma$ — простая (почти простая) поверхность, заданная векторным уравнением $\boldsymbol = \boldsymbol(u, v)$, $(u, v) \in \Omega$. Пусть на поверхности $\Sigma$ определена непрерывная функция $F(x, y, z)$. Двойной интеграл (несобственный интеграл)
$$
\iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv\nonumber
$$
будем называть поверхностным интегралом первого рода от функции $F(x, y, z)$ по поверхности $\Sigma$ и обозначать символом $\displaystyle\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS$. Таким образом, по определению
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv.\label
$$

Интеграл \eqref не зависит от выбора параметрического уравнения поверхности. Это доказывается так же, как и для интеграла, задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла \eqref относительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования.

Если функция $F(x, y, z) \geq 0$, то ее можно интерпретировать как плотность материальной поверхности. В этом случае интеграл \eqref равен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению области $\Omega$ на области $\Omega_$, $i = \overline<1, n>$, соответствует разбиение поверхности $\Sigma$ на простые поверхности $\Sigma_$, $i = \overline<1, n>$. Применяя интегральную теорему о среднем, получаем, что
$$
S(\Sigma_) = \iint\limits_<\Omega_> |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|\ du\ dv = |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_ m(\Omega_).\nonumber
$$

Символ $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_$ означает, что значение функции $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|$ вычислено в некоторой точке $(u_, v_) \in \Omega$. Масса поверхности приближенно равна следующей сумме:
$$
\sum_^ F(x_, y_, z_)S(\Sigma_) = \sum_^ F(x(u_, v_), y(u_, v_), z(u_, v_)) |[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|_ m(\Omega_).\nonumber
$$

Точное значение массы есть по определению предел этой суммы при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, то есть равняется интегралу \eqref.

Значение величины $|[\boldsymbol_, \boldsymbol_]|$ определяется через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это выражение в формулу \eqref, получаем следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода:
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt>\ du\ dv.\label
$$

Найдем положение центра тяжести однородной полусферы $x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= R^<2>$, $z \geq 0$.

$\vartriangle$ Без ограничения общности считаем, что плотность $\rho = 1$. Параметризуем полусферу
$$
x = R \cos \varphi \cos \psi,\ y = R \sin \varphi \cos \psi,\ z = \sin \psi,\ 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ 0 \leq \psi \leq \frac<\pi><2>.\nonumber
$$

Мы уже вычисляли коэффициенты квадратичной формы для сферы и выяснили, что $\sqrt> = R^ <2>\cos \psi$. Масса полусферы равна числу
$$
M = \iint\limits_ <\Sigma>dS = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>\sqrt>\ d\psi = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>R^ <2>\cos \psi\ d\psi = 2\pi R^<2>.\nonumber
$$

Координата $z_$ центра тяжести есть
$$
z_ = \frac<1> \iint\limits_ <\Sigma>z\ dS = \frac<1><2\pi R^<2>> \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>\sqrt>\ d\psi = \frac<1><2\pi R^<2>> \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <\pi/2>R^ <3>\cos \psi \sin \psi\ d\psi = \frac<2>.\nonumber
$$

В силу симметрии полусферы $x_ = y_ = 0$. $\blacktriangle$

Для поверхности $\Sigma$, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции $z = f(x, y)$, $(x, y) \in \Omega$, формула \eqref принимает следующий вид:
$$
\iint\limits_ <\Sigma>F\ dS = \iint\limits_ <\Omega>F(x, y, z(x, y)) \sqrt<1 + z_^ <2>+ z_^<2>>\ dx\ dy.\label
$$

Для функции $F(x, y, z)$, непрерывной на кусочно гладкой поверхности $\Sigma$, поверхностный интеграл определяется как сумма поверхностных интегралов по всем гладким кускам.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>\frac<(1 + x + y)^<2>> = I\label
$$
по кусочно гладкой поверхности $\Sigma$, являющейся границей симплекса $T = \<(x, y, z): x \geq 0,\ y \geq 0,\ z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\>$.

$\vartriangle$ Граница $\Sigma$ симплекса $T$ состоит из четырех треугольных граней: грань $D_<1>$ лежит в плоскости $z = 0$, грань $D_<2>$ лежит в плоскости $y = 0$, грань $D_<3>$ лежит в плоскости $x = 0$, а грань $D_<4>$ — в плоскости $x + y + z = 1$. Обозначим поверхностные интегралы по соответствующим граням через $I_<1>$, $I_<2>$, $I_<3>$ и $I_<4>$.

Воспользовавшись формулой \eqref, получаем
$$
I_ <1>= \iint\limits_> \frac<(1 + x + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>dx \int\limits_<0>^ <1-x>\frac<(1 + x + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>\left(\frac<1><1 + x>-\frac<1><2>\right)\ dx = \ln 2-\frac<1><2>.\nonumber
$$

В силу симметрии подынтегрального выражения в формуле \eqref относительно $x$ и $y$ получаем, что
$$
I_ <2>= I_ <3>= \iint\limits_> \frac<(1 + y)^<2>> = \int\limits_<0>^ <1>\frac<(1 + y)^<2>> \int\limits_<0>^ <1-y>dz = \int\limits_<0>^ <1>\frac<(1-y)\ dy><(1 + y)^<2>> = 1-\ln 2.\nonumber
$$

Уравнение грани $D_<4>$ можно записать в виде $z = 1-x-y$, $(x, y) \in D_<1>$. Применяя формулу \eqref, получаем
$$
I_ <4>= \iint\limits_> \frac<(1 + x + y)^<2>> = \iint\limits_> \frac<\sqrt<3>dS><(1 + x + y)^<2>> = \sqrt<3>I_<1>.\nonumber
$$

Складывая интегралы, находим значение интеграла \eqref:
$$
I = I_ <1>+ I_ <2>+ I_ <3>+ I_ <4>= (1 + \sqrt<3>)I_ <1>+ 2I_ <2>= (1 + \sqrt<3>)\left(\ln 2-\frac<1><2>\right) + 2(1-\ln 2).\ \blacktriangle\nonumber
$$

Поверхностные интегралы второго рода.

Ориентируем поверхность $\Sigma$ единичными нормалями
$$
\boldsymbol = \frac<\boldsymbol><|\boldsymbol|>,\ \boldsymbol = [\boldsymbol_, \boldsymbol_].\label
$$

Противоположная ориентация поверхности $\Sigma$ возникает при замене в формуле \eqref вектора $\boldsymbol$ на вектор $\boldsymbol<-N>$. Заметим еще, что для простой поверхности $|\boldsymbol| \neq 0$.

Подчеркнем то обстоятельство, что при изменении ориентации на противоположную интеграл \eqref меняет знак. Интеграл \eqref называют также поверхностным интегралом второго рода.

При выводе формулы \eqref была использована формула \eqref.

При выводе формулы \eqref было применено разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки; определители второго порядка записаны через соответствующие якобианы.

Формула \eqref, несмотря на ее громоздкий вид, удобна для запоминания. При переходе от левой части к правой нужно произвести следующие замены символов:
$$
dy\ dz \rightarrow \frac<\partial (y, z)><\partial (u, v)>,\quad dz\ dx \rightarrow \frac<\partial (z, x)><\partial (u, v)>\ du\ dv,\quad dx\ dy \rightarrow \frac<\partial (x, y)><\partial (u, v)>\ du\ dv,\nonumber
$$
но при этом важно помнить, что левую часть нужно записывать в том виде, как в формуле \eqref, не допуская в символах типа $dx\ dy$ перестановок. В левой части формулы \eqref достаточно запомнить написание слагаемого $R\ dx\ dy$, так как остальные слагаемые получаются при помощи круговой перестановки символов.
$$
R\rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow R,\qquad dx\rightarrow dy\rightarrow dz\rightarrow dx.\nonumber
$$

Полагая в формуле \eqref $P = Q = 0$, получаем
$$
\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>R(x(u, v),\ y(u, v),\ z(u, v)) \frac<\partial (x, y)><\partial (u, v)>\ du\ dv.\label
$$

Читайте также: Усердный ответ что означает
Особенно просто вычисляется поверхностный интеграл \eqref, если поверхность $\Sigma$ задается как график непрерывно дифференцируемой функции $z = f(x, y)$, $(x, y) \in \Omega$. В этом случае
$$
\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>R(x, y, f(x, y))\ dx\ dy.\label
$$

Заметим, что формула \eqref может иметь смысл и в том случае, когда частные производные $f_(x, y)$ и $f_(x, y)$ не определены на $\Omega$. В этом случае будем под поверхностным интегралом $\iint\limits_ <\Sigma>R\ dx\ dy$ понимать двойной интеграл в правой части формулы \eqref.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z^<2>\ dx\ dy\nonumber
$$
по внешней стороне полусферы $x^ <2>+ y^ <2>+ z^ <2>= 1$, $z \geq 0$ (внешняя сторона определяется нормалями, направленными от центра).

$\vartriangle$ Полусферу $\Sigma$ можно задать как график функции $z = \sqrt<1-x^<2>-y^<2>>$, $(x, y) \in \Omega$, $\Omega = \ <(x, y): x^<2>+ y^ <2>\leq 1\>$ (рис. 54.2). Внешняя сторона полусферы в данном случае определяется нормалями, составляющими острый угол с осью $Oz$. Воспользовавшись формулой \eqref, получаем
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z^<2>\ dx\ dy = \iint\limits_ <\Omega>(1-x^<2>-y^<2>)\ dx\ dy = \int\limits_<0>^ <2\pi>d\varphi \int\limits_<0>^ <1>(1-r^<2>)r\ dr = 2\pi \left(\frac<1><2>-\frac<1><4>\right) = \frac<\pi><2>.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Вычислить поверхностный интеграл
$$
\iint\limits_ <\Sigma>z\ dx\ dy
$$
по внешней стороне конической поверхности $z^ <2>= x^ <2>+ y^<2>$, $0 \leq z \leq 1$, считая, что внешняя сторона определяется нормалями, составляющими с осью $Oz$ тупой угол (рис. 54.3).

Рис. 54.3

$\vartriangle$ Уравнение поверхности $\Sigma$ можно задать в виде
$$
z = \sqrt + y^<2>>,\ (x, y) \in \Omega,\ \Omega = \<(x, y): 0 Пример 5.

$\vartriangle$ Поверхность конуса можно параметризовать следующим образом:
$$
\begin
\boldsymbol = r \cos \varphi\ \boldsymbol + r \sin \varphi\ \boldsymbol + r\ \boldsymbol,\quad (r, \varphi) \in \Omega,\\
\Omega = \<(r, \varphi): 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \varphi \leq 2\pi\>.
\end\label
$$

Заметим еще, что при параметризации \eqref для проекции вектора нормали $\boldsymbol$ на ось $Oz$ справедливо неравенство
$$
N_ = \frac<\partial(x, y)> <\partial(r, \varphi)>= \begin\cos \varphi&\sin \varphi\\-r \sin \varphi&r \cos \varphi\end = r > 0.\nonumber
$$

Поэтому вектор нормали $\boldsymbol = \boldsymbol/|\boldsymbol|$ составляет с осью $Oz$ острый угол и вектор $\boldsymbol$ определяет внутреннюю сторону конической поверхности. $\blacktriangle$

Поток через кусочно гладкую ориентированную поверхность равен по определению сумме потоков через все гладкие куски.

Вычислить поверхностный интеграл
$$
J = \iint\limits_ <\Sigma>xy\ dx\ dy\nonumber
$$
через внешнюю сторону поверхности $\Sigma$, являющейся границей симплекса $T = \<(x, y, z): x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x + y + z \leq 1\>$ (см. рис. 54.1).

При вычислении поверхностных интегралов было использовано то обстоятельство, что внешняя нормаль к грани составляет тупой угол с осью $Oz$, а поэтому поток через эту грань равен двойному интегралу по плоской области $D_<1>$, взятому со знаком минус. На грани $D_<4>$ внешняя нормаль составляет с осью $Oz$ острый угол, и поток равен соответствующему двойному интегралу, взятому со знаком плюс. $\blacktriangle$

Источник

Поверхностные интегралы в математике с примерами решения и образцами выполнения

При изучении темы «Поверхностные интегралы» вы познакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех
переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к повторному), проецируя заданную поверхность на одну из координатных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.

Поверхностный интеграл первого рода

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности, описываемая уравнением F(x,y,z) = 0
и некоторыми неравенствами.

План решения. Поверхностный интеграл сводится к двойному
проецированием на координатную плоскость XOY по формуле

где D — проекция на плоскость XOY, — угол между нормалью
к поверхности и осью OZ; z(x, у) определяем из уравнения поверхности F(x, у, z) = 0.

Замечание:

Если уравнение F(x,y,z) = 0 не определяет однозначно функцию z = z(x,y), то проецируем на другую координатную плоскость или используем криволинейные координаты (можно
также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивностью интеграла).

1.Единичные нормальные векторы к поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

2.Проекцию D поверхности на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих .

3.Находим z = z(x, у), решая уравнение F(x, у, z) = 0.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — часть плоскости

расположенная в первом октанте (т.е. ).

Решение:

1.Единичные нормальные векторы к по-
поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, определяются формулой

В данном случае F(x,y,z) = х + 2у + 3z — 1. Следовательно,

2.Поверхность определяется условиями

Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий,
определяющих :

3.Из уравнения х + 2у + 3z — 1 = 0 находим z(x, у) = (1 — х — 2у)/3.

4.Переходим от поверхностного интеграла к двойному по формуле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному:

Ответ.

Интеграл по цилиндрической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0 и z = h.

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — часть поверхности вырезаемая плоскостями
z = 0, z = 2.

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные
координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как и то имеем

3.Вычисляем повторный интеграл:

Ответ.

Интеграл по сферической поверхности

Постановка задачи. Вычислить поверхностный интеграл

где — верхняя полусфера

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как имеем

3.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ.

Пример:

Вычислить поверхностный интеграл

где — верхняя полусфера

Решение:

1.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные координаты

В этих координатах поверхность задается условиями

2.Так как и имеем

3.Вычисляем повторный интеграл:

Ответ.

Определение и свойства поверхностных интегралов

Поверхностный интеграл I рода

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Она называется интегральной для функции f(x;y;z) по поверхности S.

Если при интегральная сумма (57.1) имеет пре-дел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается

Таким образом, по определению,

Читайте также: Френч дог что это

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

3. Если поверхность S разбить на части такие, что а пересечение состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4.Если на поверхности S выполнено неравенство

7.Если f(x; у, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка такая, что

(теорема о среднем значении).

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Обозначив через, острый угол между осью Oz и нормалью п, к поверхности в точке получаем:

(область есть проекция на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z = = z(x;y), то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке есть

где — координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол уг есть угол между векторами и

Равенство (57.4) принимает вид

В правой части формулы (57.2) заменим (учитывая (57.3)) на полученное выражение для , a заменим на Поэтому, переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра (а следовательно, и ), получаем формулу

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у = y(x;z) или х = x(y;z), то аналогично получим:

где — проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример:

Вычислить — часть плоскости расположенной в I октанте (см. рис. 248).

Решение:

Запишем уравнение плоскости в виде

Находим По формуле (57.5) имеем:

Пример:

где S — часть цилиндрической поверхности отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 249).

Решение:

Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку

то где — прямоугольник

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x; у) и zy'(x;y) — непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть Для нахождения массы поверхности:

4. Суммируя по всей области, получаем:

5.За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей , т. е.

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции материальной поверхности S находятся по соответствующим формулам:

Пример:

Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы. Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее уравнение — поверхностная плотность полусферы.

По формуле (57.7) находим:

Переходим к полярным координатам:

внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r= Rsint:

Поверхностный интеграл II рода

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z =f(x;y), где f(x;y), — функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т.д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с точкой С, a В — с D (см. рис. 251).

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части , где i = 1,2,…,п, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

где — площадь проекции на плоскость Оху. Ее отличие от интегральной суммы (57.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (58.1) при если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции f(x;y;z) по переменным x и у по выбранной стороне поверхности и обозначается

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным у и z и z и х:

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где P, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности S.

Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне ее обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Пусть функция R(x; у, z) непрерывна во всех точках поверхности S, заданной уравнением z = z(x; y), где z(x; у) — непрерывная функция в замкнутой области D (или ) — проекции поверхности S на плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол. Тогда

Так как , то интегральная сумма (58.1) может быть записана в виде

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равенстве (58.2) при , получаем формулу

Читайте также: что означает когда джул горит синим цветом

выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у через двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус». Поэтому

где — проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz соответственно (замкнутые области).

В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = y(x;z), а в формуле (58.6) — уравнением х = x(y;z). Знаки перед интегралами выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в формуле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый угол, а знак «минус» — если тупой угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют формулы (58.4)-(58.6), проектируя поверхность S на все три координатные плоскости:

Замечание:

Можно показать справедливость равенств

— элемент площади поверхности — направляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S.

Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением

Пример:

по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV октанте.

Решение:

На рисунке 253 изображена заданная часть плоскости. Нормаль п, соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с осями Ох и Oz — острые. В этом можно убедиться, найдя направляющие косинусы нормального вектора = (2; —3; 1) плоскости:

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) — знак «минус». Следовательно,

Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y,z), R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

где S — граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

Формула (58.9) называется формулой Остроградского-Гаусса (является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).

Пусть область V ограничена снизу поверхностью , уравнение которой сверху — поверхностью , уравнение которой (функции непрерывны в замкнутой области D — проекции V на плоскость , сбоку — цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 254).

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей соответственно (см. (58.3)). Получаем:

Добавляя равный нулю интеграл по внешней стороне (см. свойство 5 п. 58.1), получим:

где S — поверхность, ограничивающая область V. Аналогично доказываются формулы

Складывая почленно равенства (58.10), (58.11) и (58.12), получаем формулу (58.9) Остроградского-Гаусса.

Замечания:

Пример:

где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу + z = 6, х = 0, у = 0, z = 0.

Решение:

По формуле (58.9) находим:

Заметим, что интеграл (см. пример 58.1) можно вычислить иначе:

где поверхности есть соответственно треугольники ОАС, АОВ, СОВ (см. рис. 255). Имеем:

Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

где L — граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стоке — английский математик, физик).

Пусть z = f(x;y) — уравнение поверхности S, функции непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Оху), — граница области D (см. рис. 256).

Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида

Значения функции Р(х; у; z) на L равны значениям функции P(x; y;z(x;y)) на . Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам совпадают. Поэтому

Применим к этому интегралу формулу Остроградского-Грина (см. п. 56.3). Тогда получим:

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхностный интеграл II рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство перепишем в виде

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. — острый угол между нормалью к поверхности S и осью Oz), то нормаль имеет проекции 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:

Отсюда Тогда

Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства:

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (58.13).

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Пример:

Вычислить где контур L — окружность а) непосредственно,
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу

Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 257.

а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

По формуле (56.7) имеем:

б) По формуле Стокса (58.13) находим:

Переходя к полярным координатам, получаем:

Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода

С помощью поверхностного интеграла 11 рода можно найти объем тела, ограниченного сверху поверхностью снизу — поверхностью сбоку — цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Oz:

где

Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (58.9) находим:

Аналогично, полагая P = 0, Q = у, R = 0, находим еще одну формулу для нахождения объема тела с помощью поверхностного интеграла II рода:

Наконец, положив Р = 0, Q = 0, R = z, по формуле (58.9) находим третью формулу

выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.

Сложив почленно равенства (58.15)-(58.17) и разделив на три, получим формулу (58.14).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник